Hinweis: Die Kurzfassung ist auch für Nichtphysiker gut verständlich. Am wichtigsten ist Kap. 2, dessen Zielsetzung ebenfalls für Nichtphysiker nachvollziehbar sein dürfte.

Ist die Klassische Allgemeine Relativitätstheorie unvollständig?

J. Brandes*

*Danziger Str. 65, 76307 Karlsbad, e-mail: jg-brandes@t-online.de;

Kurzfassung

                                            „Um an die Quelle zu kommen, muss man gegen den Strom schwimmen“

                                                                                                            Stanislaw J. Lec, Schriftsteller, Polen  

 

Mit wenigen Argumenten (eine halbe Seite) wird bewiesen, dass sich aus der Klassischen Allge­meinen Relativitätstheorie widersprüchliche Vorhersagen zur Gesamtenergie von im Gravitations­feld ruhenden Teilchen ergeben. Mit wenigen weiteren Argumenten (eine Seite) wird bewiesen, dass diese Widersprüche durch eine Erweiterung der Klassischen Allgemeinen Relativitätstheorie lösbar sind.

Die andere Situation: Obwohl der Autor die Klassische Allgemeinen Relativitätstheorie nicht wi­derlegen sondern erweitern will, wird er behandelt wie ein kritikloser Antirelativist – seit den An­fängen seiner Überlegungen, das sind inzwischen über 20 Jahre. Besonders deutlich war es bei diesem DPG-Vortrag und deshalb – Nachvollziehbarkeit der Argumente dieses Beitrags vorausge­setzt – die öffentliche Frage: Sind Gravitationsphysiker wegen der vielen Erfolge nicht mehr fähig, offensichtliche Mängel der Klassischen Allgemeinen Relativitätstheorie einzugestehen?

Die Klassische Allgemeine Relativitätstheorie ist in Energiefragen widersprüchlich, weil einerseits die Gesamtenergie eines im Gravitationsfeld ruhenden Teilchens kleiner ist als seine Ruhemasse (es ist Energie erforderlich, um es aus dem Gravitationsfeld zu entfernen) und andererseits aus dem Äquivalenzprinzip folgt, dass die Gesamtenergie gleich der Ruhemasse sein muss.

 


1. Vorbemerkung

Unvollständigkeit bedeutet Mängel einer Theorie, die durch eine Erweiterung behebbar sind.

Für die Klassische Allgemeine Relativitätstheorie bestehen Schwierigkeiten bei hohen Energieen, so u.  a. für die Simulation der Supernovae-Explo­sio­nen, für das Feuerballmodell der Gammaburster (der „fireball“ ist nur durch Rückrechnung aus den Beobachtungsdaten verständlich, aber nicht aus der Theorie), sowie für die Entstehung der UHECR (Kosmische Strahlung höchster Energie). Deshalb liegt es nahe, die Energieaussagen der Klassischen Allgemeinen Re­lativitätstheorie näher zu betrachten.

2. Widersprüchliche Aussagen zur Gesamtenergie

Die elementare Frage lautet: Was ist die Gesamt­energie EG eines im r,t-Bezugssystem der Schwarz­schildmetrik (SM) ruhenden Teilchens? Für die SM gilt:

            {1}

Aus den Formeln für den freien, radialen Fall ergibt sich:

                                {2}

Dies ist zumindest qualitativ richtig, denn um das Teilchen aus dem Gravitationsfeld zu entfernen, muss Energie aufgewendet werden. Erst dann hat das Teilchen die Gesamtenergieund deshalb muss im Gravitati­onsfeld die Gesamtenergie kleiner sein.

Andererseits gilt das Äquivalenzprinzip. Ein im Lokalen Inertialsystem ruhendes Teilchen (d. h. das frei fallende Teilchen) hat eine Gesamtenergie gleich seiner Ruhemasse:

                                                         {3}

Formel {2} und {3} widersprechen sich. Sie bezie­hen sich zwar auf verschiedene Bezugssysteme und eines davon ist sogar beschleunigt, aber: Zum Zeit­punkt  ist das frei fallende Teilchen ebenso ein im r,t-Bezugssystem ruhendes Teilchen, denn, ob­wohl die Beschleunigung  ist, ist seine Ge­schwindigkeit . Da die Spezielle Relativitäts­theorie anwendbar ist und dort die Gesamtenergie eines freien Teilchens nur von v und nicht von b abhängt, haben somit das frei fallende Teilchen zum Zeitpunkt  und das an derselben Stelle stets ruhende Teilchen dieselbe Gesamtener­gie {3}. For­meln {2} und {3} sind ein Wider­spruch.

Schon wegen des obigen qualitativen Argumentes ist For­mel {2} richtig. Das lässt sich genauer zeigen. Dazu entwickle man {2} in eine Reihe:

                                 {4}

Das 2. Glied ist die negative newtonsche Gravitati­onsenergie. Näherungsweise ist Formel {2} die Ru­hemasse abzüglich der newtonschen Gravitations­energie. Formel {2} erfüllt somit den newtonschen Grenzfall, Formel {3} nicht.

Vertiefung zu Formel {3}: Man kann einwenden, das relativ zum r,t-Bezugssystem ruhende Teilchen hat die Gesamtenergienur relativ zum Lokalen Inertialsystem. Das ist falsch. Man führe eine Mes­sung durch. Zum Zeitpunkt unterscheiden sich ruhende und frei fallende Messinstrumente nicht von einander, insbesondere laufen solche Uhren gleich schnell - s. Kap. 4. Es ist also irrelevant, ob die Mes­sung der Gesamtenergie mit relativ zum r,t-Bezugs­system oder mit relativ zum Lokalen Inertialsystem ruhenden Messinstrumenten durchgeführt wird. In beiden Fällen ergibt sich oder das Äquivalenz­prinzip ist falsch.

3. Umformuliertes Äquivalenzprinzip

Das Äquivalenzprinzip ist so be­währt und überzeu­gend, dass man es nicht als falsch be­zeichnen darf. Deshalb muss auch For­mel {3} richtig sein.

Formulieren wir das Äquivalenzprinzip geringfügig um: Für Messungen im Gravitationsfeld lassen sich die Messergebnisse im Lokalen Inertialsystem mit Hilfe der Speziellen Relativitätstheorie vor­hersagen.

Für unseren Anwendungsfall gilt dann: Die Messung der Gesamtenergie EG mit im Gravitationsfeld ru­henden Messin­strumenten ergibt den Wert, den Formel {3} vorhersagt. Das ist nicht länger ein Wi­der­spruch zu {2}, wenn man annehmen darf, dass sich Messinstrumente im Gravitationsfeld verändern.

4. Veränderung von Messinstrumenten im Gravita­tionsfeld

Berücksichtigen wir die Änderung der Messinstru­mente bei der Messung von EG . Wir wählen ein gedanklich einfaches Messverfahren. Man bringe zum ruhenden Teilchen sein Antiteilchen und messe die Annihilationsfrequenz der beiden entstehenden Photonen. Dann gilt:

                               {5}

 : Annihilationsfrequenz, gemessen mit einer im Gravitationsfeld ruhenden Uhr.

: Eigenzeit der im Gravitationsfeld ruhenden Uhr (-Uhr)

Andererseits, aus der SM ergibt sich (und das ist auch experimentell bestätigt):

                                         {6}

In Worten. Vergeht für die außerhalb des Gravitati­onsfeldes ruhende t-Uhr die Zeit , vergeht für die -Uhr die um den Faktor

                                                  {7}

kleinere Zeit *. D. h. für die gemessenen Frequen­zen gilt:

                      {8}

{8} in {5} eingesetzt:

                  {9}

oder

                              {10}

also Formel {2}.

In Worten: Berücksichtigt man die Veränderung der Messinstrumente im Gravitationsfeld, in diesem Fall die im Gravitationsfeld langsamer laufende Uhr, lässt sich die Gesamtenergie eines im Gravitations­feld ruhenden Teilchens auch aus dem Äquivalenz­prinzip herleiten.

5. Zusammenfassung

Die Klassische Allgemeine Relativitätstheorie kennt zwei sich widersprechende Formeln für die Gesamt­energie eines im Gravitationsfeld ruhenden Teil­chens. Dieser Widerspruch lässt sich beseitigen, wenn man annimmt, dass sich Messinstrumente im Gravitationsfeld verändern.

6. Ergänzungen

1.) Die newtonsche negative Gravitationsenergie ist kein relativistischer Begriff, denn wegen

                                                          {11}

bedeutet das negative Massen. Negative Massen gibt es nicht. Formel {2} erklärt, was sie tatsächlich be­deutet – eine Abnahme der Ruhemasse.

2.) Formel {2} sagt aus, dass sich die Ruhemasse eines Teilchens im Gravitationsfeld verkleinert. Das gilt deshalb ebenso für die Ruhemassen der Messge­räte und bestätigt, dass sich Messgeräte im Gravita­tionsfeld verändern.

3.) Formel {2} lässt sich formal sehr einfach herlei­ten, indem man das Skalarprodukt des kovarianten, vierdimensionalen Energie-Impulsvektors für ein ruhendes Teilchen hinschreibt. Da das Teilchen im Gravitationsfeld ruht, sind von den Viererimpuls­komponenten  null und das Quadrat des Viererimpules

                                             {12}

liefert einerseitsund andererseits

                               {13}

wobei berücksichtigt wurde, dass der Viererimpuls ein Kovektor ist.      
Daraus folgt ebenfalls Formel {2}.

4.) In [1] wird gezeigt, dass mit diesen Ergänzungen (d. h. für die Lorentz-Interpretation) experimentell überprüfbare Unterschiede zur Klassischen Allge­meinen Relativitätstheorie bestehen.

7. Diskussionen

Dieser Vortrag wurde vor den DPG-Fachgruppen GR und DD gehalten. Dort und in einigen E-Mail-Diskussio­nen hat es Kommentare gegeben. Nicht­fachleute haben die Argumente in der Regel akzep­tiert, min­destens als nachvollziehbar, und der Lo­rentz-Inter­pretation (LI) damit ein Existenzrecht zugebilligt. Von Gravitationsphysi­kern hat es keine Zustimmung gegeben, niemand hat der Formel {2} oder {3} zuge­stimmt und gleichzeitig die jeweils andere Variante widerlegt.

Nachfolgend drei E-Mail-Diskus­sionen:

Sehr geehrter Herr Prof. ...    
Auf der DPG-Tagung in ... hatten wir ein kurzes Gespräch. Meine Frage lautete: Man nehme ein im Gravitationsfeld ruhendes Proton. Seine gemessene Energie ist gleich seiner Ruhemasse und das stimmt mit der Energie überein, die das Proton im zugehöri­gen lokalen Inertialsystem besitzt. Andererseits muss man Energie aufwenden, um das Proton aus dem Feld zu entfernen. Das im Feld ruhende Proton hat somit eine Energie, die kleiner als seine Ruhe­masse ist. Für die Lorentz-Interpretation ist das kein Problem, für die Einstein-Interpretation sehe ich keine Lösung. Je mehr ich über dieses Thema nach­denke, um so weniger verstehe ich die Nulltoleranz der Gravitationsphysiker gegenüber der Lorentz-Interpretation.
Mit freundlichen Grüßen      
Jürgen Brandes

Sehr geehrter Herr Brandes, 
mit dem Proton im Gravitationsfeld gibt es nach der
Allgemeinen Relativitätstheorie kein Problem. Be­­zeichnet m seine Ruhemasse, so ist seine Masse
im Gravitationsfeld Wurzel aus g_00 mal m, wobei g_00 die 00-Komponente der Metrik (hier statisch) ist; da g_00 kleiner als 1 ist, ist die Masse (Energie)
im Gravitationsfeld kleiner als m. Das ruhende Pro­ton hat also eindeutig eine Masse (Energie), die kleiner als die Ruhemasse ist.  
Mit freundlichen Grüßen ...

Sehr geehrter Herr Prof. ...,   
vielen Dank für Ihre Antwort. Darin stimmen wir überein, einerseits hat das an der Position r ruhende Proton die Energie m*c^2*SQRT(g_00), aber ande­rerseits - und dazu haben Sie sich noch nicht geäu­ßert - hat ein bei r ruhendes Proton die Energie m*c^2, dieselbe wie ein im zugehörigen Lokalen Inertialsystem ruhendes Proton. Der Grund ist offen­sichtlich: Zum Zeitpunkt t = 0, dem Beginn des freien Falls ab Position r, ist die Geschwindig­keit beider Protonen v = 0, nur die Beschleunigung ist ungleich null. Zum Zeitpunkt t = 0 besteht somit kein Unterschied zu einem an der Position r ständig ruhendem Proton, also ist auch dessen Energie m*c^2. Von dieser Aussage kann die Klassische Allgemeine Relativitätstheorie nicht abgehen, denn dann wäre das Äquivalenzprinzip verletzt.

Es besteht ein Widerspruch (den die Lorentz-Inter­pretation lösen kann, denn beides hat seine Berech­tigung).

Mit freundlichen Grüßen      
Jürgen Brandes

Sehr geehrter Herr Brandes, 
das im Gravitationsfeld ruhende Proton hat keines­falls die Energie m*c^2, sondern die mit dem Faktor SQRT(g_00) versehene geringere Energie. Das liegt daran, daß die Ruhe im Gravitationsfeld keine iner­tiale Bewegung darstellt, weshalb Ihr Argument unten nicht zutrifft. 
Mit freundlichen Grüßen, ...

Sehr geehrter Herr Prof. ...,   
besten Dank für Ihre Antwort.         
Ruhe im Gravitationsfeld ist keine inertiale Bewe­gung, da stimme ich zu. Es hilft aber nicht, den Widerspruch zu lösen. Betrachten Sie das Lokale Inertialsystem zum Zeitpunkt t = 0. Das frei fallende Proton hat die Energie m*c^2. Relativ zum Lokalen Inertialsystem gilt die spezielle Relativitätstheorie, das zurückbleibende, ruhende, nicht frei fallende Proton hat eine Beschleunigung, zum Zeitpunkt t = 0 aber die Geschwindigkeit v = 0. Deshalb ist auch dessen Energie noch m*c^2 - darin sollten wir über­einstimmen, das ist Spezielle Relativitätstheorie, eine von null verschiedene Beschleunigung ändert nicht die relativistische Masse sondern nur eine durch eine Beschleunigung bewirkte Geschwindig­keitsänderung.
Stimmen Sie überhaupt zu, dass das im Lokalen Inertialsystem ruhende Proton die Gesamtenergie m*c^2 hat? Der Widerspruch wäre lösbar, wenn man behaupten darf, dass das Proton zum Zeitpunkt t = 0 allein durch das Loslassen seine Energie sprunghaft ändert. Das führt aber zu Widersprüchen bei der Energieerhaltung. Beispielsweise hätte die Zer­strahlung mit einem Antiteilchen unterschiedlich energiereiche Photonen zur Folge, allein abhängig davon, ob das Proton (und das Antiproton) beginnt, frei zu fallen oder noch nicht.

Der Widerspruch bleibt.       
Mit freundlichen Grüßen      
Jürgen Brandes

Sehr geehrter Herr Prof. ...,   
trotz mehrerer E-Mails konnten wir uns noch nicht einigen. Ich habe unsere Argumente zusammenge­fasst. Folgenden Widerspruch zur Energie eines im
Gravitationsfeld ruhenden Teilchens halte ich nicht für lösbar.

1.) Darin stimmen wir überein: "Das im Gravitati­onsfeld ruhende Proton hat keinesfalls die Energie m*c^2, sondern die mit dem Faktor SQRT(g_00)
versehene geringere Energie." Das ist qualitativ leicht einzusehen, da es Energie kostet, ein im Gra­vitationsfeld ruhendes Teilchen aus dem Gravitati­onsfeld zu entfernen. [Anm.: Das ist Formel {2}.]

2.) Nun betrachte man zwei im r,t-Koordinatensy­stem der Schwarzschildmetrik an der Stelle  ruhende gleiche Teilchen (Protonen). Teilchen_1 lasse man zum Zeitpunkt t = 0 frei fallen, Teil­chen_2 ruhe weiterhin. Teilchen_1 ruht jetzt im zugehörigen Lokalen Inertialsystem. Wegen des Äquivalenzprinzips ist seine Gesamt­energie gleich seiner Ruhemasse, d. h. . Die Gesamtenergie von Teilchen_2 bleibt relativ zum Lokalen Inertial­system von Teilchen_1 nicht kon­stant, sondern nimmt zu, weil die Relativgeschwin­digkeit zum frei fallenden Teilchen_1 zunimmt. Es gilt

                                     {14}

da die Spezielle Relativitätstheorie gilt. (, bezeichnet die Gesamtenergien von Teilchen_1 und Teilchen_2.)

3.) Teilchen_2 hat relativ zum Lokalen Inertialsy­stem eine andere Energie als relativ zum r,t-Koordi­natensystem der Schwarzschildmetrik, in dem es ruht. Das ist zunächst einmal kein Widerspruch, da man zwei verschiedene Bezugssysteme hat.

4.) Ein Widerspruch entsteht für den Grenzfall t = 0, denn zum Zeitpunkt t = 0 haben Teilchen_1 und Teilchen_2 in beiden Bezugsystemen dieselbe Ge­samtenergie.

Begründung: Man messe für Teilchen_1 und Teil­chen_2 die Gesamtenergie, in dem man jedes mit seinen Anti­teilchen zerstrahlt und die Frequenz der entstehen­den Gammaquanten misst. Dazu benötigt man eine Uhr. Es ist gleichgültig, ob die Uhr im Lokalen Inertialsystem oder relativ zum r,t-Koordi­natensy­stem der Schwarzschildmetrik ruht, denn: Die Rela­tivgeschwindigkeit der Uhren ist null. Die von null verschiedene Beschleunigung der einen Uhr ändert die Ganggeschwindigkeit der Uhr nicht, son­dern nur die durch Beschleunigung sich ändernde Relativge­schwindigkeit, die für t = 0 noch null ist. Wer das bestreitet, gerät in Widerspruch zum Äqui­valenz­prinzip und zur Speziellen Relativitätstheorie. Führt man nun eine Messung für t = 0 durch, erhält man wegen des Äquivalenzprinzips für beide Teil­chen denselben Wert , ohne Wurzelfaktor. Das ist ein Widerspruch zu 1.), ein im r,t-Koordina­tensy­stem ruhendes Teilchen hat die Gesamtenergie m*c^2*SQRT(g_00). [Anm.: Das ist Formel {2}.]

In dieser Situation gibt es zwei Möglichkeiten, man löst den Widerspruch oder man gibt ihn zu. Gravita­tionsphysiker praktizieren gerne einen dritten Weg: Wer von der Relativitätstheorie abweicht, be­weist, dass er sie nicht verstanden hat. Wer die Relativi­tätstheorie sogar für widersprüchlich hält, dem ist nicht zu helfen und irgendwelche Gegenar­gumente sind überflüssig. Ich bin gespannt, für wel­che der drei Varianten Sie sich entscheiden.
Mit freundlichen Grüßen      
Jürgen Brandes

Der Autor hat keine Antwort erhalten.

V. Perlick, Bremen antwortet zu den Formeln {2} und {3}:

Lieber Herr Brandes, 
die Energie, die ein Beobachter fuer ein Teilchen misst, haengt nicht nur vom Bewegungszustand des Beobachters ab, sondern auch davon, welche Uhr er benutzt.
In der speziellen Relativitaetstheorie benutzt man in der Regel nur Inertialsysteme; dann gibt die Koordi­natenzeit t zugleich auch die Eigenzeit auf den t-Linien an. In der allgemeinen Relativitaetstheorie benutzt man aber oft t-Koordinaten, die nicht die Eigenzeit auf den t-Linien angeben. Formal erkennt man das daran, dass g_{tt} nicht gleich -c^2 ist. Das ist insbesondere in der Schwarzschild-Raumzeit der Fall, wie man an {1} ablesen kann.     
Ihre Formeln {2} und {3} geben beide die Energie an, wie sie ein Beobachter misst, der sich auf t-Linien bewegt. Die benutzten Uhren sind aber unterschied­lich: Gleichung {2} ist richtig, wenn die Uhr, die Koordinatenzeit t anzeigt; Gleichung {3} ist richtig, wenn die Uhr Eigenzeit \tau anzeigt (wie man es voraussetzt, wenn man das Aequivalenzprinzip an­wendet). Der Unterschied ist natuerlich gerade durch den Rotverschiebungsfaktor bestimmt, der die Um­rechnung von t auf \tau angibt. Die Tatsache, dass die Energie sich mit dem Rotverschiebungsfaktor transformiert, passt natuerlich auch wunderbar mit der de-Broglie-Beziehung zwischen Energie und Frequenz zusammen.  
Die beiden Energien in Ihren Gleichungen {2} und {3} duerfen also nicht gleichge­setzt werden. Eine Inkonsistenz der allgemeinen Relativitaetstheorie liegt nicht vor.  
Mit freundlichen Gruessen  
Volker Perlick

Lieber Herr Perlick,    
Ihren Ausführungen stimme ich zu, bis auf die Schlussfolgerung. Mit einer t-Uhr bestätige ich For­mel {2}, mit einer Tau-Uhr Formel {3}. Es bleibt aber bei einem Widerspruch auf Grund folgender Überle­gung: Wenn man die Annihilationsfrequenz am Ort r zur Zeit t mit den beiden Uhren misst, dann hat man zwei nebeneinanderstehende, ruhende Uhren, die aber unterschiedlich schnell laufen. Wenn zwei nebeneinanderstehende Uhren unterschiedlich schnell laufen, dann kann nur eine von beiden den wirklichen Zeitablauf messen, die andere ist nicht richtig geeicht und zeigt eine falsche Anzahl abge­laufener Sekunden an. Die GRT ist unvollständig, weil sie kein Kriterium besitzt, die richtig laufende Uhr zu bestimmen. Das bliebe sogar so, wenn die Uhren an verschiedenen Orten relativ zueinander ruhen.
Mit freundlichen Grüßen      
Jürgen Brandes

Lieber Herr Brandes, 
> Die GRT ist unvollständig, weil sie kein Kriterium besitzt, die richtig laufende Uhr zu bestimmen.

Doch, selbstverstaendlich zeichnet die GRT Uhren aus, naemlich die sogenannten 'Standarduhren', die Eigenzeit anzeigen. Alle Vergleiche der Vorhersa­gen der GRT mit Experimenten basieren auf der Annahme, dass Atomuhren Standarduhren sind. Das heisst natuerlich nicht, dass man fuer Rechnungen nicht auch andere Parametrisierungen von Weltli­nien (also andere Uhren) benutzen darf. Die Benut­zung der Schwarzschildschen t-Koordinate ist zum Beispiel sehr zweckmaessig, weil sie an die Sym­metrie angepasst ist (\partial _t ist ein Killing-Vek­torfeld). Niemand behauptet, dass Atomuhren (oder irgendwelche anderen im Experiment tatsaechlich benutzten Uhren) die Schwarzschildsche t-Koordi­nate anzeigen.
Mit freundlichen Gruessen  
Volker Perlick

Lieber Herr Perlick,    
wenn ich Sie richtig verstehe, zeigt für die GRT die tau-Uhr die richtige Zeit an und die t-Uhr nicht. Also ist die mit der tau-Uhr gemessene Annihilati­onsfre­quenz die richtige Frequenz und Formel {3} richtig. Andererseits ist Formel {2} richtig, weil Energie aufgewendet werden muss, um das ruhende Teilchen aus dem Gravitationsfeld herauszuziehen. Der Wi­derspruch bleibt, denn alle Messungen erfol­gen mit im r,t-Bezugssystem ruhenden Messinstru­menten, gelten also relativ zu demselben Bezugssy­stem.
Mit freundlichen Grüßen      
Jürgen Brandes

Lieber Herr Brandes, 
>wenn ich Sie richtig verstehe, zeigt für die GRT die tau-Uhr die richtige Zeit an.

ja, wenn Sie mit der 'richtigen Zeit' die Zeit meinen, die eine Standarduhr (Atomuhr) anzeigt.

>Andererseits ist Formel {2} richtig, weil Energie aufgewendet werden muss, um das ruhende Teilchen aus dem Gravitationsfeld herauszuziehen.

Sowohl Gleichung {2} als auch Gleichung {3} gelten nur dann, wenn Teilchen und Beobachter sich auf einer t-Linie bewegen, also relativ zueinander ruhen. (Der Unterschied liegt in der Uhr, die der Beobach­ter verwendet, nicht im Bewegungszustand.) Wenn sich das Teilchen relativ zu den t-Linien bewegt ('aus dem Gravitationsfeld herausgezogen wird'), gilt keine der beiden Gleichungen.  
Mit freundlichen Gruessen  
Volker Perlick

Lieber Herr Perlick,    
... ja, sowohl Gleichung {2} als auch Gleichung {3} gelten nur dann, wenn Teilchen und Beobachter sich auf einer t-Linie bewegen, also relativ zueinander ruhen. (Der Unterschied liegt in der Uhr, die der Beobachter verwendet, nicht im Bewegungszu­stand.) Bis hier sind wir uns einig. Aber darauf ha­ben Sie noch nicht geantwortet:

Man kann die beiden Messungen gleichzeitig aus­führen. Dann hat man an demselben Ort r zwei ne­beneinan­der ruhende Uhren, die aber unterschiedlich schnell laufen, denn jede Uhr zeigt etwas Anderes an. Beide Uhren behaupten, dass sie die abgelaufene Zeit in Se­kunden messen. Für ein und denselben Vorgang (z. B. einen Blitzschlag) sagt die eine Uhr, das hat 4 Sekunden gedauert, die andere sagt, es waren 5 Sekunden. Das kann beides zugleich aber niemals stimmen. Eine der Uhren ist nicht mehr richtig geeicht und man weiß nicht welche. Noch einmal: Wenn zwei Uhren richtig geeicht sind, dann müssen sie für die Dauer eines beliebiges Ereignis­ses dieselbe Anzahl von Sekunden messen.

Stimmen Sie zu? Wenn ja, dann kann nur Formel {2} oder nur Formel {3} stimmen. Ich denke, hier muss man zu­stimmen - ganz analog, wenn dieselbe Strecke 4 und 5 Meter lang sein soll (mit relativ zur Strecke und zueinander ruhenden Maßstäben gemes­sen), dann ist einer der Maßstäbe falsch geeicht. Stimmen Sie jetzt zu? Einen weiteren Einwand stelle ich erst einmal zu­rück.
Mit freundlichen Gruessen  
Jürgen Brandes

Lieber Herr Brandes,             
> ... Für ein und denselben Vorgang (z. B. einen Blitz­schlag) sagt die eine Uhr, das hat 4 Sekunden ge­dauert, die andere sagt, es waren 5 Sekunden. Das kann beides zugleich aber niemals stimmen.         
Doch, natuerlich kann es stimmen, wenn die Uhren einen Gangunterschied aufweisen, und das tun sie ja. Den Gangunterschied kann man nach der Allgemei­nen Relativitaetstheorie genau berechnen.      
> Eine der Uhren ist nicht mehr richtig geeicht und man weiß nicht welche.       
Doch, das weiss man. Nur die Uhr, auf die sich Gleichung {3} bezieht, ist eine Standarduhr (darf also mit einer Atomuhr identifiziert werden). Die
t-Uhr ist in er Tat „nicht richtig geeicht'', wenn Sie damit meinen, dass die keine Standarduhr ist. Solche „nicht richtig geeichten Uhren'' sind aber sehr nuetzlich, z.B., wenn sie wie im vorliegenden Fall an die Symmetrie besser angepasst sind als Stan­darduhren. Man kann sie sehr vorteilhaft fuer Rech­nungen verwenden und dann, wenn das gewuenscht wird, muehelos auf Eigenzeit umrechnen, wozu die Allgemeine Relativitaetstheorie alle relevanten For­meln zur Verfuegung stellt. Mir ist  wirklich wichtig zu betonen, dass hier nichts willkuerlich, mehrdeutig oder unbestimmt ist.        
> Wenn zwei Uhren richtig geeicht sind, dann müs­sen sie für die Dauer eines beliebiges Ereignisses dieselbe An­zahl von Sekunden messen. Stimmen Sie zu?
Ja, nur verwendet man aus rechentechnischen Gruenden eben sehr haeufig in der Allgemeinen Relativitaetstheorie eine Zeitkoor­dinate t, die nicht mit der Eigenzeit auf den t-Linien uebereinstimmt. Sie wuerden vermutlich sagen, dass man „Uhren benutzt, die nicht richtig geeicht sind''. Wenn das im angegebenen Sinne gemeint ist, habe ich gegen die Formulierung durchaus keine Einwaende.  
Ich moechte noch einmal den entscheidenden Punkt betonen: Sie unterstellen der Allgemeinen Relativi­taetstheorie Aussagen, die Sie in keinem vernuenfti­gen Lehrbuch finden werden. Niemand, der eine Ahnung von Allgemeiner Relativitaetstheorie hat, wuerde behaupten, dass die Schwarzschildsche t-Koordinate mit der Anzeige einer Standarduhr (Atomuhr) auf den t-Linien uebereinstimmt. Der Begriff der Standarduhr (Ei­genzeit) ist in der Allge­meinen Relativitaetsheorie voellig unmissverstaend­lich definiert.      
Herzliche Gruesse aus Florenz         
Volker Perlick

Lieber Herr Perlick,    
vielen Dank für Ihre Antwort aus Florenz.
> Ich moechte noch einmal den entscheidenden Punkt betonen: Sie unterstellen der Allgemeinen Relativitaetstheorie Aussagen, die Sie in keinem  vernuenftigen Lehrbuch finden werden. Niemand, der eine Ah­nung von Allgemeiner Relativitaetstheo­rie hat, wuerde behaupten, dass die Schwarzschild­sche t-Koordinate mit der Anzeige einer Standarduhr (Atomuhr) auf den t-Linien uebereinstimmt. Der Begriff der Standarduhr (Ei­genzeit) ist in der Allge­meinen Relativitaetsheorie voellig unmissverstaend­lich definiert       

Bis auf die persönlichen Vorwürfe stimme ich Ihnen zu. Ich habe auch nichts Derartiges über Standard­zeit und t-Zeit behauptet. Ich habe behauptet, dass
nur eine der beiden Uhren die Energie eines im Gravitationsfeld ruhenden Teilchens richtig misst und die Allgemeine Relati­vitätstheorie nicht ent­scheiden kann, welche das ist. Es ist klar, dass ich, wenn das festliegen würde, die Messung mit der jeweils anderen Uhr ebenso für die Energiebestim­mung verwenden kann, denn der Um­rechnungsfak­tor wiederum ist Lehrbuchwissen.  
Sie behaupten, die mit Standarduhren gemessene Energie liefert die richtige Energie und das ist For­mel {3}, die mit dem Äqui­valenzprinzip überein­stimmt.
Damit bleiben die folgenden Einwände ungelöst:
1.) Formel {3} widerspricht dem newtonschen Grenzfall. Je kleiner der Abstand r des im Gravitati­onsfeld ruhenden Teil­chens vom Mittelpunkt, desto
negativer ist die potentielle Energie und desto klei­ner die Gesamtenergie. Formel {3} liefert dagegen stets denselben Wert m c^^2.           
2.) Qualitativ: Zum Herausziehen des Teilchens aus dem Gravitationsfeld muss dem Teilchen Energie zugeführt werden und es gilt: die Gesamtenergie des im Gravitationsfeld am Ort r ruhenden Teilchens plus zugeführte Energie ist gleich der Ruheenergie au­ßerhalb des Gravitationsfeldes (m c^^2). Logische Konsequenz: Im Feld ist sie kleiner als m c^^2, also gilt Formel {2}.       
3.) Formel {2} folgt gemäß meines Vortrags aus Kap. 6 Punkt 3.).
4.) Formel {2} beschreibt die Energieerhaltung beim freien Fall, s. Lehrbücher, zitiert in meinem Buch.
Für Lorentz-Interpretation bestehen diese Wider­sprüche nicht, weil sie annehmen kann, dass sich Messgeräte (in diesem Fall die Standarduhren) im
Gravitationsfeld verändern. Formel {2} ist ein Mess­ergebnis, wie es das Äquivalenzprinzip vorhersagt, das aber in die t-Zeit umgerechnet werden
muss. Es ist kein Problem, die Messergebnisse mit Standarduhr oder t-Uhr in einander umzurechnen. Das Problem für die Klassi­sche Allgemeine
Relativitätstheorie ist die Entscheidung, welches Messergebniss die Energie eines im Gravitationsfeld ruhenden Teilchens wie­dergibt und welches umge­rechnet werden muss. Beides zugleich ist falsch.
Mit freundlichen Grüßen      
Jürgen Brandes

Lieber Herr Brandes, 
Ihre Argumentation laeuft immer auf dieselbe Be­hauptung hinaus, die Sie am Schluss Ihrer letzten Nachricht noch einmal formulieren:     
>Das Problem für die Klassische Allgemeine Relati­vitätstheorie ist die Entscheidung, welches Messer­gebniss die Energie eines im Gravitationsfeld ruhen­den Teilchens wiedergibt und welches umgerechnet werden muss. Beides zugleich ist falsch.
Da widerspreche ich entschieden: Beides ist richtig. Es handelt sich eben in einem Fall um die Energie in Bezug auf die eine Uhr, im anderen Fall in Bezug auf die andere Uhr. Beide Uhren sind wohldefiniert und wohlverstanden, und die Umrechnungsformel ist, wie Sie richtig schreiben, auch wohlbekannt. Von einer 'Unvollstaendigkeit' der Theorie kann
deshalb keine Rede sein. Eine Paradoxie laege frei­lich vor, wenn die Situation gegenueber Vertau­schung der beiden Uhren symmetrisch waere. Das ist aber natuerlich nicht der Fall, da ja nur eine der beiden Uhren eine Standarduhr ist.
Ich hoffe, das klaert die Situation.   
Mit freundlichen Gruessen  
Volker Perlick

Damit hat auch diese Diskussion einen Stand er­reicht, die dem Leser ein eigenes Urteil zu der Frage erlaubt, ob Einwände gegen die Vollständigkeit der GRT von Gravitationsphysikern überhaupt wahrge­nommen werden oder einfach nicht zutreffen. Der Autor dankt V. Perlick, Bremen für die bisherige Diskussion und die Zustimmung zur Veröffentli­chung der E-Mails.

Eine weitere E-Mail-Diskussion gebe ich nur sinn­gemäß wieder, da der Diskussionspartner nicht ge­nannt werden möchte:

Lieber Herr Prof. ...,   
... Sie schreiben sinngemäß: Beide Teilchen (das im r,t-Bezugssystem ruhende und das frei fallende) haben in einem Bezugssystem dieselbe Energie, im r,t-Bezugssystem die Energie (2) und im lokalen Inertialsystem die Energie (3). Diese Energien kann man nicht sinnvoll vergleichen, denn der Energiesatz gilt nicht über Bezugssysteme hinweg.

Das ist zunächst einmal richtig (insbesondere für t = 0, wenn beide Teilchen relativ zueinander ruhen). Ich verstehe nicht, warum Sie behaupten, ich könne das nicht einsehen. Sie schreiben weiterhin, meine übrigen Argumente seien damit nichtig.

Nein, und in diesem Punkt ist mir Ihre Ablehnung unverständlich. Das folgende Argument können Sie doch nicht bestreiten: Formel (3) gilt für ein im Gravitationsfeld ruhendes Teilchen, wenn ich mit einer im frei fallenden Bezugssystem ruhenden Uhr die Annihilationsstrahlung zur Zeit t = 0 messe. (Klar, hier sind wir uns einig). Nun führen Sie die­selbe Messung mit einer im Gravitationsfeld ruhen­den Uhr durch. Da zur Zeit t = 0 die ruhende und frei fallende Uhr gleich schnell gehen, ist das Mess­ergebnis dasselbe. Damit haben Sie einen Wider­spruch: Sie messen mit im r,t-Bezugssystem ruhen­den Uhren und bestätigen Formel (3), wenn die Uhr im Gravitationsfeld ruht oder Formel (2), wenn die Uhr außerhalb ruht.

Dieser Widerspruch ist leicht erklärt, wenn man annimmt, dass im Gravitationsfeld ruhende Uhren langsamer gehen. Was soll an dieser Argumentation falsch sein?     
Mit besten Grüßen    
Jürgen Brandes

Antwort (sinngemäß):           
...Falsch ist, dass es einen Widerspruch zwischen den Formeln (2) und (3) geben soll. Die Energie des im Gravitationsfeld ruhenden oder frei fallenden und noch ruhenden Teilchens hängt davon ab, in wel­chem Bezugssystem man es beschreibt. Im r,t-Be­zugssystem  ist das die Energie, die ein Beobachter im Unendlichen misst - das gilt für beide Teilchen. Im frei fallenden System ist das die Energie, die ein lokaler Beobachter misst - ebenfalls für beide Teil­chen (dabei ist es völlig gleichgültig, ob die mes­sende Uhr dauerhaft ruht oder noch ruht und anson­sten frei fällt). Die beiden Energien in verschiedenen Bezugssystemen sind zwar durch irgendwelche Formeln verknüpft, aber nicht durch den Energie­satz. Ihr grundsätzlicher Fehler ist, dass Sie immer meinen, zu einem Teilchen gehöre ein festes Be­zugssystem. Also zum frei fallenden Teilchen das frei fallende Bezugssystem und zum Teilchen, das im Gravitationsfeld ruht, das r,t-Bezugssystem. Aber das stimmt nicht. ....

Lieber Herr Prof. ...,   
>Ihr grundsätzlicher Fehler ist, dass Sie immer mei­nen, zu einem Teilchen gehöre ein festes Bezugssy­stem. Also zum frei fallenden Teilchen das frei fal­lende Bezugssystem und zum Teilchen, das im
Gra­vitationsfeld ruht, das r,t-Bezugssystem. Aber das stimmt nicht.

Natürlich, aber das sage ich nicht, sondern: Jedes der beiden Teilchen zeichnet ein anderes Bezugssystem aus, nämlich das, in dem es ruht.

>sinngemäß: Im frei fallenden System ist das die Energie, die ein lokaler Beobachter misst - ebenfalls für beide Teilchen (dabei ist es völlig gleichgültig, ob die messende Uhr dauerhaft ruht oder noch ruht und ansonsten frei fällt).

Gerne stimme ich zu, denn daraus folgt: Misst man die Energie eines im Gravitationsfeld ruhenden Teilchens mit im Gravitationsfeld ruhenden Uhren, dann gilt Formel (3). Etwas anders formuliert: Mit im r,t-Bezugssystem ruhenden Uhren bestätige ich Formel (2), wenn die Uhr außerhalb des Gravitati­onsfeldes ruht, und Formel (3), wenn sie im Gravi­tationsfeld ruht. Also: Im r,t-Bezugssystem ruhende Teilchen haben die unterschiedliche Energie (2) oder (3), je nachdem wo ich messe.

Was Sie nicht so ganz richtig beachten: Egal wo die Uhren ruhen (im Gravitationsfeld oder außerhalb), es ist stets eine Messung relativ zum r,t-Bezugssy­stem. Diese Messergebnisse widersprechen sich, denn sie bestätigen Formel (2) oder (3).         
Mit besten Grüßen    
Jürgen Brandes

Da ich hierzu keine mich überzeugende sondern eher eine ausweichende Antwort erhalten habe, komme ich in einer weiteren E-Mail darauf zurück:

Lieber Herr Prof. ...,   
in meiner E-Mail vom 12. Juli 2012 hatte ich Sie zitiert:

>sinngemäß: Im frei fallenden System ist das die Energie, die ein lokaler Beobachter misst - ebenfalls für beide Teilchen (dabei ist es völlig gleichgültig, ob die messende Uhr dauerhaft ruht oder noch ruht und ansonsten frei fällt).

Meine Antwort lautete sinngemäß:

Gerne stimme ich dem Klammerausdruck zu, denn daraus folgt: Misst man die Energie eines im Gravi­tationsfeld ruhenden Teilchens mit im Gravitations­feld ruhenden Uhren, dann gilt Formel (3). Etwas anders formuliert: Mit im r,t-Bezugssystem ruhen­den Uhren bestätige ich Formel (2), wenn die Uhr außerhalb des Gravitationsfeldes ruht, und Formel (3), wenn sie im Gravitationsfeld ruht. Also: Im r,t-Bezugssystem ruhende Teilchen haben die unter­schiedliche Energie (2) oder (3), je nachdem wo ich messe. Meine Frage wäre, ob Sie hier zustimmen? Mit besten Grüßen           
Jürgen Brandes

Darauf hat der Autor keine konkrete, ihn überzeugende Antwort erhalten. Der Leser muss sich entscheiden, ob er den Klammerausdruck als richtig ansieht oder ob es eine missglückte Formulierung ist, die jedem passieren kann. Ein weiterer Hinweis: Alle Diskussionen haben mir geholfen, meinen Standpunkt klarer zu formulieren – am meisten die Diskussion mit Prof. ... , der aber nicht genannt werden will. Ein Beispiel ist die Her­leitung von Formel (2) als skalares Produkt, s. Punkt 3.) oben, und nicht über die Formeln des freien Falls, wie in [1] geschehen.

Der Autor regt an, Forschungsmittel für die Institute und deren Mitar­beiter zu vergeben, die sich mit den (für den Autor nach wie vor) widersprüchli­chen Energie­formeln der GRT intensi­ver beschäfti­gen wollen.

8. Literaturverzeichnis

[1]      Brandes, J.; Czerniawski, J. (2010): Spezielle und Allgemeine Relativitätstheorie für Physiker und Philosophen – Einstein- und Lorentz-Inter­pretation, Paradoxien, Raum und Zeit, Experi­mente. Karlsbad: VRI,
4. erweiterte Auflage, 404 Seiten, 100 Abbil­dungen, ISBN 978-3-930879-08-3
Näheres (Preis, Inhaltsverzeichnis etc.):
http://www.buchhandel.de/ oder http://www.amazon.de/
Suchen mit 9783930879083

 


home